0 Faktöriyel Neden 1’e Eşittir?

Bakıldığı zaman sanki 0’a eşit olması gerekiyormuş gibi görünen 0 faktöriyel aslında 1’e eşit. Nasıl mı? Gelin bu matematiği beraber inceleyelim, açıklığa kavuşturalım. Faktöriyeller konusunu lise yıllarından hatırlarsınız. Hatırlamayanlar için kısaca açıklayalım.

Tanım: n doğal sayı olmak üzere, 1’den n e kadar olan doğal sayıların çarpımına ‘n faktöriyel’ denir ve n! şeklinde gösterilir. Mesela; 5!=5.4.3.2.1=120, 4!=4.3.2.1=24, 6!=6.5.4.3.2.1=720 olur.

İşte bu tanımda kafa karıştıran nokta 0!=1 ifadesidir. Aslında bunun farklı gösterim biçimleri olsa da bu yazıda en basit olanını açıklamaya çalışalım. Aslında bunun bir ispat değil, sadece gösterim şekli olduğunu unutmamak gerekir.

Taban değeri sıfırdan büyük olan sayıların kuvvetleri sıfıra yaklaştığında, sayının değeri 1’ e yaklaşır. Örneğin hesap makinesinde bir pozitif sayının sürekli karekökünü alırsanız sayının kuvveti sıfıra sayı ise 1 ‘e yaklaşır. Sonuçta matematikte bazı şeyler kabul edilmelidir. 0!=1 olması da bunlardan biridir.

Ancak yine de konuyu açıklarken neden bu biçimde kabul edilmesi gerektiğine dair aşağıdaki giriş anlatılabilir.

N elemanlı bir kümenin n elemanlı 1 tane alt kümesi vardır o da kendisidir.

*(n!n) = (n!/n!(n-n)! dir.

*n! sadeleşir.

* 1/(n-n)! kalır. Bu değerin yukarıda yazdığımız 1 alt küme değerine eşit olması için.
*(n-n)! değerinin 0! olması gerekir. 0! bu yüzden 1’e eşittir.

*(n!n) olmak üzere n!=1.2.3…n şeklinde tanımlarsak, bu tanımdan 1!=1 çıkar. diğer yandan n!=n(n-1)! dir. bu eşitlikte n=1 yazılırsa: 1!=1.0! ve 1=1.0! den 0!=1 bulunur.

Matematiksel işlem kafanızı karıştırmış, hatta yazılanlardan hiçbir şey anlamamış olabilirsiniz. Bu yüzden daha kolay anlaşılabilir olması adına gelin bir de sözlü ifadeyle örnek vererek açıklayalım.

3 tane farklı gömleğinizi bir rafa sıraya dizmek istediğinizi düşünün, bunu 3!=6 kadar şekilde yapabilirsiniz.

Peki gömlek sayınız iki olursa. Elbette o zaman cevabınız 2!=2 olacaktır. Bir tanecik gömleğiniz varsa da o zaman üzgünüz sadece bulunduğu biçimde kalacaktır. Yani 1!=1 olacaktır.Eğer hiç gömleğiniz yoksa işin içine biraz felsefe karışıyor. “Hiç gömleğim yok, bunu kaç farklı biçimde sıralayabilirim?” Cevabınız elbette sıralayamam olacaktır ama unutmayın bu cevap matematikte boş kümeye karşılık gelmektedir.

Matematiksel bir örnekle daha açıklamak gerekirse:

10 elemanlı bir kümenin 10 elemanlı 1 tane alt kümesi vardır. mantıksal olarak da böyledir. o halde.

*(10!10) kombinasyonunda:

*10! /10! (10-10)!

* üstteki 10! sadeleşir.

1/(10-10)! yani,

1/0! kalır. yine bunun tek kümeye eşit olması için, 0!=1 olması gerekir.

Bu sefer kümeler dışında başka bir örnek verelim. Permütasyon yapalım. 6 kişilik bir koltuğa 6 kişi kaç farklı şekilde oturabilir sorusunu şöyle çözebiliriz:

Permütasyon yani sıralama formülümüz p(6 6) = 6!/(6-6)! olacaktır. Sonuç, 6!/0! yapar, bunun 6/1 =720 olması, yani tanımlı bir işlem olabilmesi işimize geldiği için 0! bire eşitlenmiştir. Bir örnek daha verelim:

Bir fotoğraf makinesiyle beş kişi fotoğraf çekilecek ama hiç kimse fotoğrafa girmemiş, boşluğu çekmişsiniz. Yani 0 farklı kişiyi çektiğinizde 1 farklı görüntü elde edersiniz bunu da matematik dilinden ispat edersek. Tam sayılarda çarpma işleminin birim elemanının 11 oluşu da (aynı zamanda yapılan yorumlarla uyuşan) farklı bir bakış açısı olabilir:

Bir doğal sayının faktöriyelini, o doğal sayıya eşit veya o doğal sayıdan küçük pozitif tam sayıların çarpımı olarak tanımlayalım.

Bu tanıma göre 0!0!, 00’dan küçük veya 00’a eşit tüm pozitif tam sayıların çarpımı olacaktır. Fakat çarpılacak sayıların oluşturduğu küme boş kümedir. Dolayısıyla çarpma işlemi “hiç” kere yapılmalıdır. Bir işlemi “hiç” kere yapmak, bizi o işlemin birim elemanına götürür. 0!=10!=1.

Matematikte çarpma işlemi yaparken 0 değerinin tanımsız olması bizim bunu tanımsız olmasını istediğimiz için, 0!=1 olması da bizim onu tanımladığımız içindir. 0!! değerini tanımlarken 0!=20 de diyebilirdik. Ancak sıralama, seçme, istatistik (permütasyon-kombinasyon) küme hesaplamaları yaparken sayıları parçalar hesaplama yaparken çok uğraşmış olurduk.

Örneğin 0/0 ifadesini tanımlamak gereksizdir, işimize gelmez, çünkü hiç olmayan bir ekmeği aslında hiç bölmemek gibidir. Bu ifade bu kadar soyut olduğu için tanımlanmamıştır. Matematiksel hiçbir ifade tanımlayamadığımız veya kendi başına tanımsız değildir. Biz onu tanımsız bıraktığımız için tanımsızdır.

Önerilen Yazı: Pi Sayısı Nedir? Ne İşe Yarar?