Karar Verme Problemi
Karar Verme Problemi Nedir?
Her matematik önermesinin ispatı, doğru olduğu bilinen diğer önermelere bina edilerek yapılır. Bu ispatlar zincirinde en temelde yer alan önermelere aksiyom denir. Aksiyomlar, tüm matematiği üzerine kurduğumuz, doğru ve tutarlı olduğunu varsaydığımız, ancak ispatlayamadığımız önermelerdir. Örneğin Öklid, Elemanlar kitabında “paralel doğruların kesişmediğini” aksiyom olarak kabul eder. Düzlem geometriyle ilgili pek çok teoremin ispatında bu aksiyomdan yararlanılır. Ancak aksiyomun kendisini düzlem geometrideki diğer aksiyomları kullanarak ispatlamak mümkün değildir.
Hatta eğik uzaylardaki geometriler, paralel doğruların kesişmediğini aksiyom olarak tanımlamanın gereksiz olduğunu, bu aksiyomun diğer aksiyomlar kullanılarak ispatlanabileceğini düşünen matematikçilerin beyhude çabalarının sonucudur. David Hilbert tarafından 1928 yılında ortaya atılan “karar verme problemi”, aksiyomlar kullanılarak herhangi bir matematiksel önermenin doğru ya da yanlış olduğuna karar verebilecek genel bir algoritma olup olmadığını sorar. Hilbert’in kendisi böyle bir algoritmanın var olduğunu düşünüyordu.
Önerilen Yazı » Triz: Yaratıcı Problem Çözme Teorisi Nedir?
Eğer öyleyse tüm matematiği sağlam temellere oturtmak için “gerekli tüm aksiyomları” tanımlamak yeterliydi. Daha sonra bu aksiyomları kullanarak herhangi bir matematiksel önermenin doğruluğuna ya da yanlışlığına mantık yoluyla karar verilebilirdi. Karar verme probleminin cevabı olumsuzdur: Aksiyomlar kullanarak herhangi bir matematiksel önermenin doğru olup olmadığına karar verebilecek genel bir algoritma yoktur.
Cevabın olumsuz olduğunun anlaşılmasında birkaç önemli gelişmeden bahsedilebilir. Bunlar arasında Kurt Gödel’in eksiklik teoremleri, Alonzo Church ve Alan Turing’in algoritma kavramını tanımlaması ile Alan Turing’in Turing makineleri üzerinden “hesaplanabilirlik” kavramını tanımlaması ve durma problemiyle karar verme problemi arasında ilişki kurması sayılabilir.
David Hilbert Kimdir?
Alman matematikçi David Hilbert, 1862 yılında doğmuştur. Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve matematiğin biçimsel temellerinin oluşturulmasına önemli katkıda bulunan Hilbert integralli denklemlere ilişkin çalışmalarıyla fonksiyonel analizin 20. yüzyıldaki gelişmesine öncülük etmiştir. Hilbert, 1943 yılında ise vefat etmiştir.
Kaynak: Bilim ve Teknik Dergisi, Şubat 2019
